Binom açılımı ne demektir?

Binom, polinomların özel hali, iki terimli polinom ya da iki monomlu polinom demek oluyor. Örnek verecek olursak. (x+y), (x-5), (3x2+5y) gibi iki terimli ifadelere binom diyoruz. Binom açılımı ile, (x+y)n ifadesinin tek tek terimlerin neler olduğunu gösteren formül kastediliyor.
Örneğin:
(x+y)2=x2+2xy+y2
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3
ifadelerinde hem her terimin katsayısı, hem de değişkenlerin üslerini hesaplayan formülün adı 'binom teoremi', 'binom formülü', terimlerin katsayıları da 'binom katsayıları' adlarıyla anılırlar.
Binom açılımı birkaç değişik şekilde ifade edilebilir:
Pascal Üçgeni: Her ne kadar bu isimle anılıyorsa da, binom katsayılarını veren üçgeni ilk bulanın Hintliler olduğu, daha sonraları Ömer Hayyam'ın da bu katsayılar üçgeni üzerinde çalıştığı biliniyor. Kendisini biz her ne kadar Rubailer'i ile hatırlıyor isek de, zamanının önemli bir matematikçisi ve astronomicisi olan Hayyam'ın Euclid geometrisi üzerine de çalışmalar yaptığı biliniyor.
Örneğin aşağıda görülen üçgene bakarak

x+y)5 ifadesini x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5 olarak açabiliyoruz.


Pascal üçgenini kurarken, dikkat edeceğimiz nokta, her satırın birinci sayısı olan 1'den sonra gelen sayının, bir üst satırın 1. ve 2. sayılarının toplamı, onu takip eden sayının ise 2. ve 3. sayıların toplamı vb olduğu ve son sayının yine 1 olarak bittiğidir. Buradaki sayılar açılımın katsayılarını gösterirler ve binom terimlerinin ilkinin üssü küçülürken ikincinin üssü büyür. Bu kurala uyarak Pascal üçgenini istediğimiz satıra kadar, her yeni satırın binom üssünün bir artışına karşılık geldiğini hatırda tutarak büyütebiliriz. Ancak, (x+y)18 gibi bir açılım yapmak istediğimizde, gerçekten büyük bir üçgen kurmak zorunda kalacağımızı da göz önünde tutalım.
Bu zorluğun önüne geçmek için bir yolumuz var.

Binom Teoremi:


(x+y)n=xn+nxn-1y+n(n-1)xn-2y2/2!+n(n-1)
(n-2)xn-3y3/3!+...+n(n-1)(n-2)...(n-k)xn-kyk/k!
+...+nxyn-1+yn

(x+y)n= ∑nk=0[ n!/k!(n-k)!)]xn-kyk

şeklinde kapalı olarak yazılabilir. ! İşareti faktöryel işaretidir ve k!=1*2*3*...*(k-1)*k anlamını taşır.


Bu teoremi kullanarak (x+y)5'i açalım:

(x+y)5= 5!/0!(5-0)!)x5y0 k=0 x5
+ 5!/1!(5-1)!)x4y1 k=1 5x4y
+5!/2!(5-2)!)x3y2 k=2 10x3y2
+5!/3!(5-3)!)x2y3 k=3 10x2y3
+5!/4!(5-4)!)xy4 k=4 5xy4
+5!/5!(5-5)!)x0y5 k=5 y5
__________________________________ faktöryel işlemlerini burada görünmüyor.

(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5

alıntı